ความมหัศจรรย์ สามเหลี่ยมปาสคาล

ความมหัศจรรย์ของสามเหลี่ยมปาสคาล

ผู้ค้นพบสามเหลี่ยมปาสคาล

ชุดของจำนวนทีในปัจจุบันเราเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับการความสนใจในการศึกษาจากคณิตศาสตร์ทั้งในอินเดีย กรีก จีน ก่อนหน้านั้นนานแล้ว แต่ทว่า แบลส ปาสกาล (ค.ศ. 1623 – 1662) เป็นบุคคลแรกที่ค้นพบและแสดงให้เห็นความสำคัญ และแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมปาสกาล นี่เองเป็นสาเหตุที่ทำให้เราเรียกมันว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” เพื่อให้เกียรติแก่ปาสกาลซึ่งเป็นค้นพบแบบรูปของมัน

แต่เราก็ยังพบว่าในบางตำรา เรียกมันว่า “สามเหลี่ยมของชาวจีน” (Chinese’s Triangle) ด้วย เพื่อให้เกียรติแก่ชาวจีนโบราณที่ได้ค้นพบ และพัฒนาขึ้นในระยะแรก ชนชาติใดบ้างที่สนใจศึกษาเรื่องนี้

ชนชาติที่ให้การศึกษาเรื่องนี้ก่อนที่ปาสกาลจะค้นพบความสวยงามทั้งหมดของสามเหลี่ยมนี้ในงานของเขาที่ชื่อ Traité du triangle arithmétique (1653) เริ่มเดิมทีเป็นแนวคิดเรื่อง จำนวนเชิงวิธีจัดหมู่ (Combination Numbers) และจำนวนทวินาม (Binomial Numbers) และการศึกษาเรื่อง “จำนวนเชิงรูปภาพ” (Figurate numbers) ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกด้วย

สามเหลี่ยมปาสคาล คือ อะไร?

   สามเหลี่ยมปาสคาล มีต้นกำเนิดมาจากความช่างสังเกตของนักคณิตศาสตร์ ที่พบว่า เมื่อเรานำสัมประสิทธิ์ที่ได้จากการกระจายทวินาม (a b)n มาเขียนเรียงกันเป็นรูปสามเหลี่ยมแล้ว ตัวเลขที่อยู่ข้างล่างของรูปสามเหลี่ยมจะมีค่าเท่ากับตัวเลขที่อยู่ข้างบน 2 ตัวที่อยู่เยื้องๆ กับตัวมันบวกกัน

พิจารณา (a b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกต่างๆกัน

เมื่อ n = 0 => (a b)0 = 1

เมื่อ n = 1 => (a b)1 = a b ส.ป.ส.เป็น 1 และ 1 ตามลำดับ

เมื่อ n = 2 => (a b)2 = a2  2ab b2 ส.ป.ส.เป็น 1, 2, 1 ตามลำดับ

เมื่อ n = 3 => (a b)3 = a3  3a2b 3ab2  b3 ส.ป.ส.เป็น 1, 3 , 3, 1 ตามลำดับ

เมื่อ n = 4 => (a b)4 = a4  4a3b 6a2b2  4ab3  b4 ส.ป.ส.เป็น 1, 4, 6 , 4, 1 ตามลำดับ

.

.

.

เอาเฉพาะสัมประสิทธิ์ดังกล่าวมาเขียนได้ดังนี้ n=0;                   

n=1;                1    1

n=2;              1    2    1

n=3;           1    3    3    1

n=4;        1    4    6    4    1

จะเห็นว่าในบรรทัด n=2 ตัวเลข 2 เกิดจาก 1 1 ในบรรทัดn=1

และในทำนองเดียวกัน ในบรรทัด n=3 ตัวเลข 3 เกิดจาก 1 2 หรือ 2 1 ในบรรทัด n=2

ส่วนภาพด้านบนเป็นสามเหลี่ยมปาสคาล ของจำนวนเต็มบวก 10 ตัวแรก

ภายใต้รูปสามเหลี่ยมปาสคาลมีความมหัศจรรย์มากมาย ว่างๆ ก็ลองค้นหาดูนะ  

วีดีโอที่เกี่ยวข้อง สามเหลี่ยมปาสคาล

ที่มา:http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/24945/

http://www.youtube.com/watch?v=YGYjstmFi7s

วันที่ 5 กันยายน 2556